复习线性代数：向量空间

参考资料:清华大学数学科学系-线性代数-马辉《工程数学 线性代数 第六版》 同济大学数学系 高等教育出版社Linear Algebra by Gilbert Strang MIT麻省理工线性代数公开视频课

定义：设$V \subset \mathbb{R}^{n}$是一些$n$维列向量的集合，且$V$关于向量加法和数乘封闭$\forall \alpha, \beta \in V, \forall c{1}, c{2} \in \mathbb{R} \Longrightarrow c{1} \alpha+c{2} \beta \in V$。则称$V$为一个向量空间（vector space）

性质：零向量属于向量空间$V$

更广义定义：一个实向量空间（real vector space）是“向量”的集合，其关于加法和（实数的）数乘封闭（即线性组合封闭）且满足1.7节的八条性质

例如：1.$M_{n}(\mathbb{R})={n阶实矩阵}$2.$V=\left{y=f(x) | y^{\prime \prime \prime \prime}=0\right}$

子空间：设$V$是一个向量空间，$W \subset V$，若$W$关于$V$的加法、数乘封闭，则$W$是$V$的一个子空间（subspace）

关于$A \mathrm{x}=\mathrm{b}$，相关联的有两类（子）空间$A$的列向量的全部线性组合，称为$A$的列空间（column space），记作$C(A)$，$C(A)=\left{\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{m} | \mathbf{y}=A \mathbf{x}, \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}\right}$，是$\mathbb{R}^{m}$的子空间。

定理：$A \mathbf{x}=\mathbf{b}$有解$\Longleftrightarrow \mathbf{b} \in C(A)$例如，$A \mathbf{x}=\mathbf{0}$总有解，因为$0 \in C(A)$

另一类子空间：零空间$N(A)=\left{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} | A \mathbf{x}=\mathbf{0}\right}$是$\mathbb{R}^{n}$的子空间。注意：$A \mathrm{x}=\mathrm{b} \neq 0$的解集不是一个空间

定理：设$A$是一个$m \times n$阶矩阵，则只经过行变换，$A$可化成一个行阶梯形矩阵$U$，最终化成行最简约阶梯形矩阵$U_{0}$（reduced row echelon form），即消去主元所在列的其余元素，且主元化为1。主元所在列称为主列（pivot column），主元对应变量称为主变量（pivot variable）。其余列称为自由列（free column）。自由变量一一对应$n-r$个解向量称为基础解系

注意：行阶梯形矩阵$U$一般不唯一，行最简约阶梯形矩阵$U_{0}$是唯一的

简化行阶梯阵$U_{0}$可以通过列变换化成如下形式：

总结：

即$R=E A P$

注意：$A x=0$与$R y=0$的解的关系：若$x \in N(A)$，则$P^{-1} x \in N(R)$$y \in N(R) \Rightarrow P y \in N(A)$

求$R_{\mathrm{X}}=0$的解，考虑：

称为零空间矩阵，null space matrix，$R N=0$展示$N$的每一列均是$R \mathrm{x}=0$的解，这$n-r$个列向量的全体线性组合为$R \mathrm{x}=0$的解集$N(R)$，即$C(N)=N(R)$

求解一般线性方程组$A \mathbf{x}=\mathbf{b}$设$\mathbf{x}^{*}$是$A \mathbf{x}=\mathbf{b}$的一特解，则 $\mathbf{x}^{*}+N(A)$是方程组的全部解

设$A$是一个$m \times n$阶矩阵，$r$为$A$的秩，若$r=n$，则称$A$是一个列满秩矩阵（matrix of full column rank）。若$r=m$，则称$A$是一个行满秩矩阵（matrix of full row rank）

Case1：$r=n=m$

$A$可逆，$A \mathbf{x}=\mathbf{b}$有唯一解$\mathrm{x}=A^{-1} \mathrm{b}$

Case2：$r=n